Табличные данные: как вавилоняне открыли тангенсы

В 1922 году филантроп Джордж Артур Плимптон выкупил у антиквара Эдгара Джеймса Бэнкса вавилонскую глиняную табличку с клинописью, датированную примерно 1800 годом до н. э. Сейчас табличка, получившая название Plimpton 322, хранится в коллекции Колумбийского университета.

С начала XIX века было найдено около полумиллиона вавилонских глиняных табличек.

Несколько тысяч из них, в том числе и Plimpton 322, носили математический характер. На этой табличке была изображена таблица из четырех столбцов и пятнадцати строк чисел.

Как выяснилось в 1940-х годах, табличка содержала пифагоровы числа — решения теоремы Пифагора (сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы). О том, что они могли значить, существовало несколько версий — в частности, предполагалось, что с ее помощью дети учились основам математики.

University of New South Wales/Andrew Kelly

Однако математики из Университета Нового Южного Уэльса в Австралии решили поставить точку в этом вопросе. Согласно их последнему исследованию, опубликованному в журнале Historia Mathematica, это была тригонометрическая таблица.

Вероятно, древние архитекторы использовали ее для расчетов при проектировании храмов, дворцов и каналов.

В отличие от нас, вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления. Впоследствии ее унаследовали греки и средневековые европейские математики — именно благодаря этому сегодня мы делим час на 60 минут, минуту — на 60 секунд, круг — на 360° и т. д. Так как 60 делится на 3 лучше, чем 10, вычисления были намного более точными, утверждают исследователи.

«Наше исследование показывает, что Plimpton 322 описывает формы прямоугольных треугольников, используя другой подход, основанный на пропорциях, а не треугольниках и кругах, — говорит доктор Дэниел Мансфилд, один из авторов работы. — Это потрясающая математическая (работа), которая демонстрирует гениальность вавилонян. Табличка не только содержит древнейшую тригонометрическую таблицу в мире — это также единственная абсолютно точная таблица благодаря подходу вавилонян к арифметике и геометрии. Она имеет большое значение для современного мира. Пусть вавилонская математика и не была востребована последние 3000 лет, ее можно использовать для решения задач компьютерной графики, в научных исследованиях и образовательных целях.

Это тот редкий случай, когда древний мир может научить чему-то новому».

Мансфилд обратил внимание на табличку, когда разрабатывал курс математики для школьных учителей и скооперировался с другим математиком, Норманом Вайлдбергером, чтобы изучить ее. Оба были уверены, что она имеет отношение к тригонометрии, но в ней полностью отсутствовали синусы, косинусы и углы, которыми пользовались греческие астрономы. Вместо этого каждая запись включала в себя информацию о сторонах прямоугольного треугольника: отношение короткой стороны к длинной стороне и отношение короткой стороны к диагонали (гипотенузе).

Данные на табличке были неполными — ее край был отколот. Другие исследователи ранее смогли восстановить содержание отсутствующего фрагмента, что прояснило ситуацию. «Числовые значения на реконструированной части сделали P322 понятной и простой в использовании тригонометрической таблицей», — говорит Мансфилд.

Долгое время отцом тригонометрии считался греческий астроном Гиппарх, живший во II веке до н. э. Предполагалось, что он первым составил таблицу хорд — прообраз современных таблиц тригонометрических функций.

Тригонометрические таблицы позволяют определить соотношение длин сторон прямоугольного треугольника, зная лишь одно из значений.

Судя по результатам исследования, они появились в Вавилоне более чем за тысячу лет до того, как их изобрели в Древней Греции.

Не все ученые согласны с полученными результатами. Историк математики Кристин Пруст отмечает, что, хотя гипотеза весьма соблазнительная, в известных вавилонских текстах нет указаний на то, что подобные таблички для чего-то использовались. «Эта гипотеза надежна с математической точки зрения, но весьма спекулятивна», — говорит она. Возможно, тщательный поиск других вавилонских табличек позволит внести ясность.