Родился 28 февраля 1923 года в деревне Буздяк Буздякского района БАССР в семье служащего. Детские годы Расима Закареевича прошли у дедушки с бабушкой в деревне Нигматуллино Альшеевского района.
Окончив с отличием I Московский медицинский институт Р.З. Амиров поступил в аспирантуру во Всесоюзный ушной институт по специальности физиология, где, в частности, изучал последствия воздействия ионизирующего излучения на обоняние. В течение многих лет работал в ведущих клиниках страны, в том числе в институте нейрохирургии им. Бурденко, Всесоюзном НИИ курортологии и физиотерапии, где возглавлял отделение функциональной диагностики.
Профессор Р.З. Амиров был истинным ученым с мировым именем, внесшим выдающийся вклад в изучение электрического поля сердца с помощью предложенного им метода электрокардиотопографии, а также разработанных им новых методик картирования потенциалов сердца.
Р.З. Амировым был выявлен ряд физиологических закономерностей. Так, он впервые показал, что возбуждение миокарда желудочков характеризуется круговым движением диполя с образованием полюсов вращения, максимумов зон перекрытия или зон разрыва кругового движения в зависимости от объема движения диполя. В последнее время Р.З. Амиров обобщил многолетние труды и выдвинул новую концепцию ассиметрии диполя, являющегося феноменом, представляющим интерес для диагностики и разработки теории диполя.
Изобретение Р.З. Амирова «Способ исследования электрического поля сердца» положено в основу серийного производства аппаратов «Кардиаг», предназначенных для картирования потенциалов сердца. За внедрение изобретения по авторскому свидетельству «Анализатор электрокардиосигнала» Р.З. Амирову вручен нагрудный знак «Изобретатель СССР».
На основе разработанных Р.З. Амировым способов картирования потенциалов сердца выдано 11 авторских свидетельств на изобретения и проведено фундаментальное обоснование создания специальной более совершенной аппаратуры с использованием ЭВМ с полным количественным и качественным анализом карт потенциалов сердца.
Под его руководством защищено 38 диссертаций, из них 4 докторские и 34 кандидатские диссертации.
В знак признания научных заслуг Р.З. Амирова Чехословацкая академия наук присудила ему памятную медаль и диплом чешского физиолога Эдварда Бабака, а в 1977 г. на международном конгрессе по электрокардиологии в Будапеште ему была вручена медаль основателя электрокардиографии Эйнтховена. Редакция международного журнала по электрокардиологии включила Р.З. Амирова в состав редакционного совета журнала. Р.З. Амиров, являясь членом международного совета по электрокардиологии, каждый год приглашался в качестве почетного гостя с программными докладами и лекциями на конгрессы, а в 1989г. был избран Элект-Президентом на 1990 и 1991 гг. В 1987 г. был приглашен американскими учеными трех университетов (Вашингтон, Дюрен и Кливленд), а в 1990 – в город Барселону (Испания) для чтения лекций в университетах.
Научная деятельность Р.З. Амирова отражена более чем в 200 публикациях научных статей и трех монографиях: Электрокардиография, М., 1965 г.; Интегральные топограммы потенциалов сердца, М. Наука, 1973; Electrocardiotopographie. – Akademie-Verlag-Berlin, 1974 (на нем. языке).
В 1995 году профессор Р.З. Амиров был избран почетным академиком АН РБ.
Состоял в Отделении медицинских наук АН РБ.